Plädoyer für das Wahlverfahren des Paarweisen Vergleichs

Der Paarweise Vergleich ist ein Wahlverfahren für Wahlen, bei denen aus drei oder mehr Kandidaten genau ein Gewinner ermittelt werden soll. Er ist eine Alternative zu herkömmlichen Stichwahlen und dem Instant-Runoff-Voting (Präferenzwahlverfahren mit sofortiger Stichwahl, IRV).

Das Verfahren eignet sich sowohl für Wahlen als auch für Abstimmungen über Sachfragen. Deshalb ist im folgenden auch mal von Kandidaten (bei Wahlen), mal von Vorschlägen (bei Sachabstimmungen) die Rede. Für die Erklärung des Verfahrens macht dies keinen Unterschied.

Wenn unter drei oder mehr Kandidaten keiner die absolute Mehrheit erhält, findet beim Paarweisen Vergleich nicht einfach nur eine Stichwahl zwischen den zwei stärksten Kandidaten statt, sondern es wird jeder Kandidat jedem anderen einzeln in einer Abstimmung gegenüber gestellt. Wenn ein Kandidat jede Stichwahl gewinnt, egal welches sein Gegner in dieser Stichwahl ist, so soll dieser Kandidat Gewinner der Wahl sein.

Ein solcher Kandidat wird als „Condorcet-Sieger“ bezeichnet, nach dem französischen Philosophen, Mathematiker und Politiker Marquis de Condorcet (1743-1794). Wahlverfahren, die stets den Condorcet-Sieger wählen, sofern einer existiert, werden daher in Fachkreisen „Condorcet-Methoden“ genannt. Der Einfachheit halber werde ich aber im folgenden weiter vom Paarweisen Vergleich sprechen.

Der Paarweise Vergleich entspricht also einem Turnier, bei dem jede Mannschaft einmal gegen jede andere antreten muss. Eine Mannschaft, die dabei gegen jede andere Mannschaft gewinnt, hat die Meisterschaft gewonnen.

Offene oder schriftliche Abstimmung

Grundsätzlich können Paarweise Vergleiche auf zwei Weisen durchgeführt werden: Entweder durch eine Reihe einzelner Abstimmungen zwischen jeweils zwei Kandidaten oder indem jeder Wähler die Kandidaten auf einem Stimmzettel in eine Rangfolge seiner Wahl bringt und dieser Rangfolge dann entnommen wird, welche Kandidaten er gegenüber welchen anderen bevorzugt.

Warum überhaupt eine Alternative zu einfachen Stichwahlen und IRV?

Bei herkömmlichen Stichwahlen und auch beim Instant-Runoff-Voting kann es passieren, dass ein Kandidat, der im direkten Vergleich gegen jeden anderen Kandidaten gewinnen würde, es gar nicht erst bis in die Runde der letzten zwei Kandidaten schafft, da er bereits aus dem Rennen ausgeschieden ist.

Beim Paarweisen Vergleich wird dieses Problem dadurch vermieden, dass jeder Kandidat mit jedem anderen paarweise verglichen wird.

Beispiel

Dies sei an einem kleinen Beispiel verdeutlicht: Bei einer Abstimmung mit 100 Teilnehmern stehen die Vorschläge A, B und C zur Auswahl. Am einen Ende des inhaltlichen Spektrums befindet sich Vorschlag A mit 40 Anhängern, am anderen Ende Vorschlag C mit 35 Anhängern und in der Mitte Vorschlag B mit 25 Anhängern.

Bei einer Wahl mit herkömmlicher Stichwahl kommen A und C in die Stichwahl, weil dies die zwei Vorschläge mit den meisten Stimmen sind. Beim Instant-Runoff-Voting ist es ähnlich, da B die wenigsten Stimmen hat und aus dem Rennen ausscheidet und dann A und C übrig bleiben. In beiden Fällen können die Anhänger von B mit ihrer Zweitpräferenz für A oder C jedoch den Ausschlag entweder zu Gunsten von A oder von C geben. Wenn wir davon ausgehen, dass von den 25 B-Anhängern 5 für A stimmen und 20 für C, dann gewinnt C, weil C nun 35 + 20 = 55 Stimmen hat, während A auf 40 + 5 = 45 Stimmen kommt.

Beim Paarweisen Vergleich hingegen wird nicht nur A gegen C abgestimmt, sondern auch A gegen B und B gegen C. Nehmen wir an, die Anhänger von A bevorzugen B gegenüber C, weil B ihnen näher steht als C; und die Anhänger von C bevorzugen B gegenüber A, weil B ihnen näher steht als A.

In der Abstimmung A : C erhält A 40 + 5 = 45 Stimmen und C erhält 35 + 20 = 65 Stimmen. C hat somit mit 55 zu 45 Stimmen gewonnen. In der Abstimmung A : B erhält A 40 Stimmen und B 60 Stimmen (und zwar die 25 von den B-Anhängern und 35 von den C-Anhängern, da diese B gegenüber A bevorzugen); somit gewinnt B diesen Vergleich. In der Abstimmung B : C erhält B 65 Stimmen (25 von den B-Anhängern und 40 von den A-Anhängern) und C 35 Stimmen.

B hat die Wahl gewonnen, weil er im direkten Vergleich gegen jeden anderen Vorschlag (also sowohl gegen A als auch gegen C) gewonnen hat. A kommt auf den letzten Platz, da er sowohl gegen B als auch gegen C verloren hat; C kommt damit auf den zweiten Platz.

Bei der herkömmlichen Stichwahl wird hingegen ausschließlich der Vergleich A : C betrachtet, so dass gar nicht aufgedeckt wird, dass B gegenüber A und gegen C gewonnen hätte.

Problem bei einfachen Stichwahlen und IRV: Kandidat ist stark genug, um in die Stichwahl zu kommen, aber zu schwach, um diese zu gewinnen

Wahlen mit einfacher Stichwahl oder IRV sind nicht nur für Condorcet-Sieger, die es nicht bis in die Runde der letzten zwei schaffen, verhängnisvoll, sondern auch für relativ starke Kandidaten am einen oder anderen Ende des Meinungsspektrums. Denn ein solcher „radikaler“ Kandidat läuft Gefahr, durch unerwartet großen Zuspruch in die Stichwahl zu kommen, dort dann aber gegen den Kandidaten vom anderen Ende des Spektrums zu unterliegen. Wäre ein moderaterer Kandidat in die Stichwahl gekommen, so hätte dieser sie wohl gewonnen. Die Anhänger des radikaleren Kandidaten wären mit einem Erfolg des moderaten Kandidaten zufriedener gewesen als mit dem tatsächlichen Ergebnis: dass jemand vom anderen Ende des Spektrums gewinnt. Es wäre für die Wähler des unterlegenen radikalen Kandidaten daher besser gewesen, für den moderaten Vorschlag zu stimmen, damit dieser in die Stichwahl kommt und dann gewinnt.

Dies lässt sich vielleicht am besten anhand einer Bürgermeisterwahl verdeutlichen, bei der ein linker Kandidat unerwartet gut abschneidet, den moderaten sozialdemokratischen Kandidaten an Stimmen überholt und somit in die Stichwahl kommt, diese dann aber gegen den konservativen Kandidaten verliert. Wäre – wie eigentlich erwartet – der Sozialdemokrat in die Stichwahl gekommen, hätte er diese gegen den Konservativen gewonnen, da die Anhänger des linken Kandidaten in der Stichwahl den Sozialdemokraten unterstützt hätten. Dem linken Kandidaten ist jedoch sein relativer Erfolg zum Verhängnis geworden. Er war stark genug, um in die Stichwahl zu kommen, aber zu schwach, um diese zu gewinnen. Das kann Wähler verunsichern und sie dazu bringen, gleich den moderaten Kandidaten zu wählen, auch wenn sie den radikalen besser finden.

Beim Paarweisen Vergleich ist ein voreiliges Ausweichen der Wähler auf einen moderateren Kompromisskandidaten nicht nötig, da nicht nur eine Stichwahl stattfindet, sondern jeder Kandidat mit jedem anderen vergleichen wird. Die Wähler können daher ungehemmt für den linken Kandidaten stimmen. Auch wenn dieser im direkten Vergleich gegen den Konservativen verliert, gewinnt der gemäßigte sozialdemokratische Kandidat, wenn dieser sich in der Mitte des Spektrums befindet und der Medianwähler für ihn stimmt.

Problem bei einfachen Stichwahlen und IRV: Stimmengewinn kann den Sieg kosten

Bei Wahlen mit einer Stichwahl oder IRV kann es zudem zu Verletzungen der Monotonie-Bedingung kommen, d.h. es kann sein, dass ein Kandidat, der bei einer bestimmen Stimmenverteilung gewählt ist, nicht mehr gewählt ist, wenn einige Wähler ihn auf einen besseren Rang ihrer Präferenzliste setzen. Der Grund dafür ist folgender: Wegen des Stimmenzuwachses hat zu einem bestimmten Zeitpunkt der Auszählung nun ein anderer Kandidat die wenigsten Stimmen und wird deshalb gestrichen (oder kommt nicht in die Stichwahl); dadurch kommt die nächste Präferenz anderer Wähler zum Zuge – die nun möglicherweise einem anderen Kandidaten als zuvor zum Gewinn verhelfen.

Da beim Paarweisen Vergleich Kandidaten verglichen werden, statt die Kandidaten mit den wenigsten Stimmen zu streichen, kann ein Stimmenzuwachs einen Kandidaten nicht schaden, sofern ein Condorcet-Sieger existiert. Bestimmte Varianten des Paarweisen Vergleichs, z.B. die Schulze-Methode und auch Ranked Pairs, erfüllen die Monotonie-Bedingung sogar immer, also auch dann, wenn es keinen Condorcet-Sieger gibt.

Vielfalt der Vorschläge – wie weit wollen wir gehen?

Wenn es darum geht, einen Status quo, den eine Mehrheit der Beteiligten als unbefriedigend empfindet, zu verändern, gibt es oft unterschiedlich weit gehende Vorstellungen, aber es ist vor der Abstimmung oft nicht klar, welche Vorschläge mehrheitsfähig wären. Bei herkömmlichen Abstimmungen, bei denen oft nur ein einziger Vorschlag zur Abstimmung steht, müssen die Antragsteller dies lange vor der Abstimmung – und vor der öffentlichen Diskussion – erraten. Ist der Vorschlag zu weitgehend, wird er keine Mehrheit bekommen; ist er zu zaghaft, bleibt die Veränderungsbereitschaft der anderen Teilnehmer ungenutzt und viele Unterstützer des Gewinners empfinden die beschlossenen Veränderungen als unbefriedigend.

Beim Paarweisen Vergleich müssen die Antragsteller nicht vor der Abstimmung erraten, welche Vorschläge wohl mehrheitsfähig wären. Statt dessen können die Antragsteller unterschiedlich weit gehende Vorschläge einbringen und durch die Abstimmung herausfinden, welche Vorschläge sich als mehrheitsfähig erweisen. Wenn mehrere Vorschläge von den Abstimmenden als Verbesserung gegenüber dem Status quo angesehen werden, entscheiden die Abstimmenden, welchen dieser Vorschläge sie besser finden. Somit entscheiden die Teilnehmer, wie weit zu gehen sie bei den Veränderungen bereit sind.

Die Einbringung zusätzlicher Vorschläge führt nicht zu einer Spaltung des Stimmenpotentials. Dadurch wird eine Vielfalt an Vorschlägen befördert – die Teilnehmer bekommen eine größere Auswahl. Wer glaubt, eine gute Idee zu haben, kann sie einfach zur Abstimmung stellen. Durch den Paarweisen Vergleich wird sich in der Abstimmung erweisen, ob eine Mehrheit der Abstimmenden diese neue Idee besser findet als jeden der bislang vorliegenden Vorschläge. Wenn ja, dann soll dieser zusätzliche Vorschlag gewinnen – wenn nicht, dann nicht.

Vorteile der Orientierung am Medianwähler

Das Verfahren des Paarweisen Vergleichs führt zu guten, tragfähigen Kompromissen durch Orientierung am Medianwähler.

Der Medianwähler ist derjenige Wähler, dessen Ansichten in der Mitte der vorhandenen Meinungsverteilung liegen: Es gibt genauso viele Wähler mit Ansichten diesseits des Medianwählers wie es Wähler mit Ansichten jenseits des Medianwählers gibt. Wenn es in einer Gruppe von 9 Leuten drei Konservative, einen Sozialdemokraten, einen links-alternativen und vier Kommunisten gibt, dann ist der Medianwähler links-alternativ, weil genauso viele Wähler rechts von ihm stehen (drei Konservative und ein Sozialdemokrat) wie links von ihm stehen (vier Kommunisten).

Bei Sachverhalten, bei denen sich die Vorschläge in einem linearen eindimensionalen Kontinuum anordnen lassen, gewinnt stets der Vorschlag, der die Mitte des vorhandenen Meinungsspektrums abdeckt. Denn dieser Vorschlag wird im direkten Vergleich von den Anhängern der einen Seite des Spektrums dem Vorschlag der anderen Seite vorgezogen, da er ihnen inhaltlich näher ist. Und auch die Anhänger der anderen Seite des Spektrums werden den gemäßigten Vorschlag gegenüber jenem der gegnerischen Seite bevorzugen.

Diese Orientierung am Medianwähler hat auch eine integrierende Funktion. Gemäßigte Beschlüsse sind für Vertreter von Randpositionen akzeptabler als wenn sich die jeweils gegenüberliegende Randposition durchsetzen würde. Die Unzufriedenheit der Verlierer einer Abstimmung hält sich somit eher in Grenzen als wenn die Wahl zwischen zwei einander strikt entgegengesetzten Lagern entschieden würde, wie es bei herkömmlichen Stichwahl oft der Fall ist und wo die Minderheit mit dem Ergebnis oft nur sehr schwer leben kann. Durch diese integrierende Wirkung kann die Verwendung des Paarweisen Vergleichs auch der Spaltung von Gruppen entgegenwirken.

Es handelt sich damit auch um stabilere Entscheidungen – Entscheidungen, die länger halten, weil sie bei den Unterlegenen nicht das Bedürfnis auslösen, sie wieder zurückzunehmen, sobald sich die erste Gelegenheit dazu bietet. Entscheidungen können allenfalls durch einen Vorschlag ersetzt werden, der die Ansichten der Wähler noch besser trifft.

Absolute Mehrheiten

Wenn ein Vorschlag die absolute Mehrheit der Erstpräferenzen bekommt, hat er die Abstimmung auf jeden Fall gewonnen. In einem eindimensionalen Spektrum umfasst die absolute Mehrheit immer auch den Medianwähler. Allerdings kann diese absolute Wählermehrheit entweder eher aus Wählern in der Mitte des Spektrums bestehen oder aber ganz klar eine Seite des Spektrums repräsentieren, die bis (mehr oder weniger knapp) über die Mitte reicht. In diesem zweiten Fall ist es durchaus aussichtsreich, durch Kompromissvorschläge Teilnehmer aus der absoluten Mehrheit herauslösen und so einem Vorschlag zum Gewinn zu verhelfen, der Unterstützung von beiden Seiten des Spektrums erfährt.

In diesem Sinne ist es auch möglich, Kompromissvorschläge ins Rennen zu schicken, um zu verhindern dass Vorschläge, die man gar nicht mag, am Ende gewinnen. Man kann solche Kompromissvorschläge als Angebot einbringen, ohne die eigenen Überzeugungen aufgeben zu müssen – man kann weiterhin den Vorschlag als Erstpräferenz unterstützen, den man ehrlich am besten findet.

Zyklische Mehrheiten – wenn kein Kandidat gegen jeden anderen gewinnt

Es kann Situationen geben, in denen bei einem Paarweisen Vergleich kein Kandidat gegen jeden anderen gewinnt, also kein Condorcet-Sieger existiert. Beispielsweise wenn es eine Mehrheit von A gegen B gibt, eine Mehrheit von B gegen C und ebenso eine Mehrheit von C gegen A. Die Mehrheiten sind zu einem Ring verbunden: A > B > C > A. Betrachtet man einen einzelnen Wähler, so ist klar: Wenn er A besser als B findet und B besser als C findet, dann muss er auch A besser als C finden. Bei Gruppen von Wählern ist dies jedoch nicht so selbstverständlich. Denn die Mehrheiten können jeweils aus unterschiedlichen Personen zusammengesetzt sein.

Solche Situationen können entstehen, wenn sich Kandidaten oder Vorschläge nicht in ein eindimensionales lineares Spektrum einordnen lassen. Ein Beispiel wäre etwa die Frage, ob ein Raum rot, grün oder blau gestrichen werden soll. Es kann aber auch einfach sein, dass ein Teil der Wähler nach ganz anderen Gesichtspunkten entscheidet als die übrigen Wähler.

Ermittlung des Gewinners bei zyklischen Mehrheiten

Es gibt verschiedene Methoden, um solche zyklischen Mehrheiten aufzubrechen.

Eine einfache Möglichkeit ist folgende: Wenn kein Kandidat gegen jeden anderen gewonnen hat, wird für jeden Kandidaten ermittelt, welche seiner Niederlagen die schwerste ist. Gewonnen hat dann der Kandidat, dessen schwerste Niederlage am geringsten ausgeprägt ist. Diese Variante wird oft als „Minimax“ bezeichnet, weil unter den größten Niederlagen die kleinste gesucht wird.

Minimax kann bei Wahlen mit vier oder mehr Kandidaten allerdings in bestimmten Fällen auch dazu führen kann, dass ein Kandidat die Wahl gewinnt, der gegen jeden anderen Kandidaten verloren hat, also der nach Ansicht der Wähler eindeutig der schlechteste Kandidat ist.

Dieses Problem kann behoben werden, indem nur noch Vergleiche zwischen Kandidaten betrachtet werden, die an zirkulären Mehrheiten beteiligt sind. Das Kandidatenfeld wird dabei zunächst auf eine Spitzengruppe von Kandidaten eingegrenzt, für die gilt, dass zwar die Kandidaten innerhalb der Spitzengruppe den einen oder anderen Vergleich gegeneinander verlieren oder auf ein Unentschieden kommen, aber jeder Kandidat innerhalb der Spitzengruppe gegen jeden Kandidaten außerhalb der Spitzengruppe gewinnt. Allerdings muss für diese Spitzengruppe auch noch gelten, dass sie ihrerseits keine kleinere derartige Gruppe von Kandidaten enthält. Wenn diese Spitzengruppe die innerste ist, wird sie als dominante Spitzengruppe (Smith Set) genannt. Der Gewinner der Wahl muss dann aus dieser Gruppe stammen.

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2 Kommentare »

  1. […] zwei Kandidaten bzw. Alternativen zur Auswahl stehen und genau ein Vorschlag gewinnen soll, ist es sinnvoll, den Gewinner durch einen Paarweisen Vergleich zu […]

  2. […] noch als Instant-Runoff-Voting wäre jedoch ein Paarweiser Vergleich […]

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