Benutzerleitfaden für Wahlen und Abstimmungen nach dem Verfahren des Paarweisen Vergleichs

Dieser Benutzerleitfaden enthält sämtliche Regelungen der Satzungsanlage „Paarweiser Vergleich“ (Version 2.1). Diese sind jeweils kursiv gedruckt. Nicht kursiv gedruckte Teile dieses Benutzerleitfadens sind Erläuterungen und Hinweise für die praktische Anwendung des Verfahrens.

Bei Wahlen und Abstimmungen, bei denen mehr als zwei Kandidaten bzw. Alternativen zur Auswahl stehen und genau ein Vorschlag gewinnen soll, ist es sinnvoll, den Gewinner durch einen Paarweisen Vergleich zu ermitteln.

D.h. bei Wahlen wird jeder Kandidat einzeln mit jedem anderen Kandidaten verglichen. Analog dazu wird bei Abstimmungen über Sachfragen jede Alternative einzeln mit jeder anderen Alternative verglichen.

Da sich das Verfahren sowohl für Wahlen als auch für Abstimmungen über Sachfragen eignet, wird im folgenden nicht weiter zwischen Kandidaten (bei Wahlen) und Vorschlägen (bei Sachabstimmungen) unterschieden. Es wird statt dessen verallgemeinernd von „Kandidaten“ gesprochen. Für die Erklärung des Verfahrens macht dies keinen Unterschied.

Dementsprechend heißt es in der Satzungsanlage zum Paarweisen Vergleich: „Bei Abstimmungen über Sachfragen gelten die vorstehenden Regeln sinngemäß. Die inhaltlichen Alternativen entsprechen dabei Kandidaten.

In den meisten Fällen gibt es einen Kandidaten, der den direkten Vergleich gegen jeden anderen Kandidaten gewinnt. Ein solcher Kandidat ist der eindeutige Gewinner des Paarweisen Vergleichs.

Gelegentlich kommt es jedoch vor, dass es keinen Kandidaten gibt, der gegen jeden anderen gewinnt. Etwa wenn einerseits A gegen B gewinnt, B gegen C und zugleich C gegen A. Die Gewinne widersprechen einander; sie können nicht alle umgesetzt werden. Es gibt verschiedene Methoden, solche zirkulären Mehrheiten aufzulösen. Eine verbreitete Variante ist, denjenigen Vergleich zu ignorieren, der am knappsten gewonnen wurde.

Offene oder schriftliche Abstimmung?

Das Wahlverfahren kann entweder in offener Abstimmung durch Handzeichen oder in schriftlicher Abstimmung mit Stimmzetteln verwendet werden.

Offene Abstimmungen lassen sich spontan ohne große Vorbereitung durchführen. Sie sind vor allem praktikabel, wenn es nur drei oder vier Kandidaten gibt.

Schriftliche Abstimmungen sind zum einen notwendig, wenn eine geheime Abstimmung stattfinden soll und zum anderen, wenn eine relativ große Zahl an Kandidaten verglichen werden soll. Denn die Anzahl der durchzuführenden Vergleiche steigt mit der Zahl der Kandidaten sehr schnell an. Bei 3 Kandidaten sind 3 Vergleiche durchzuführen. Bei 4 Kandidaten sind es bereits 6, bei 5 Kandidaten 10 Vergleiche.[1] Da der Abstimmungsvorgang recht langwierig werden könnte, wenn eine große Zahl an Abstimmungen einzeln aufgerufen werden muss, kann eine schriftliche Abstimmung mit Stimmzetteln, bei der die Wähler die Kandidaten in eine Rangfolge bringen, viel Zeit sparen.

Ein weiterer Vorteil schriftlicher Abstimmungen ist, dass die Auswertung der Stimmzettel nicht sofort erfolgen muss, sondern auch später – nach der Versammlung oder parallel zu anderen Tagesordnungspunkten – erfolgen kann. Der Verlauf der Versammlung wird somit nicht durch die Auszählung der Stimmen aufgehalten.

Es ist auch bei fünf oder mehr Kandidaten möglich, die Erstpräferenzen in einer offenen Abstimmung abzufragen, in der Hoffnung, dass sich eine absolute Mehrheit für einen Kandidaten ergibt, und erst dann auf die schriftliche Abstimmung zurückzugreifen, wenn kein Kandidat eine absolute Mehrheit erhalten hat und somit ein Paarweiser Vergleich notwendig wird.

Offene Abstimmung

Im ersten Wahlgang stehen alle Kandidaten zur Auswahl. Dabei hat jeder Wähler nur eine Stimme. Die Wähler werden aufgefordert, zunächst jeweils nur für den Kandidaten zu stimmen, den sie am besten finden (Erstpräferenz).

Die Kandidaten werden nach einander aufgerufen. Die Stimmenzahl jedes Kandidaten wird notiert. (Es ist auch möglich, zunächst auf das Notieren der genauen Stimmenzahlen zu verzichten, in der Hoffnung, dass bereits auf den ersten Blick klar ist, ob ein Kandidat die absolute Mehrheit hat oder ob dies nicht der Fall ist. Falls das Ergebnis jedoch nicht eindeutig ist, müssen sich die Wähler noch einmal melden, damit die Stimmen genau gezählt werden können.)

Die Stimmenzahlen aller Kandidaten werden addiert, um die Zahl der abgegebenen Stimmen zu erhalten. Die Zahl der abgegebenen Stimmen wird durch zwei geteilt. Die nächst größere ganze Zahl ist die absolute Mehrheit.

Erhält ein Kandidat die absolute Mehrheit der Erstpräferenzen, so hat er die Wahl gewonnen.

Andernfalls werden in mehreren Stichwahlen nach einander jeweils zwei Kandidaten gegeneinander abgestimmt. Nach Möglichkeit findet die erste Stichwahl zwischen den zwei stärksten Kandidaten statt. Haben Kandidaten die gleiche Zahl an Erstpräferenzen, findet die erste Stichwahl zwischen diesen Kandidat statt.

Der Versammlungsleiter teilt zunächst mit, welche zwei Kandidaten gegeneinander abgestimmt werden. Er bittet die Stimmberechtigten, sich zu melden, wenn sie für den ersten Kandidaten sind und notiert die Anzahl der Meldungen. Dann bittet er die übrigen Stimmberechtigten, sich zu melden, wenn sie für den anderen Kandidaten sind und notiert die Anzahl der Meldungen. Stimmberechtigte, die sich für keinen der beiden Kandidaten melden, zählen als Enthaltung; diese muss hier nicht gesondert notiert werden.

Die Stimmenzahlen werden am besten gleich in eine Kreuztabelle (siehe unten) eingetragen. (Es ist auch möglich, zunächst auf das Notieren der genauen Stimmenzahlen zu verzichten, in der Hoffnung, dass sich ein eindeutiger Gewinner ergibt. In der Kreuztabelle sollte jedoch trotzdem gekennzeichnet werden, welcher der beiden Kandidaten den Vergleich gewonnen hat. Falls sich nach einigen Abstimmungen herausstellt, dass es doch zirkuläre Mehrheiten gibt, sind die genauen Stimmenzahlen in den einzelnen Vergleichen aber wichtig; in diesem Fall müssten die Wähler zu den betreffenden Vergleichen erneut ihre Hand heben, damit die Stimmen genau gezählt werden können.)

In den weiteren Stichwahlen wird dann zwischen dem Gewinner der jeweils vorigen Stichwahl und einem anderen Kandidaten abgestimmt. Ergab die vorige Stichwahl ein Unentschieden, kann man sich aussuchen, welchen der beiden Kandidaten man als nächstes gegen einen anderen abstimmen lässt. Ebenso wie beim ersten Vergleich wird jeweils angekündigt, welche Kandidaten nun gegeneinander abgestimmt werden, bevor die Stimmberechtigten dann aufgefordert werden, sich für einen zu melden; das Ergebnis wird jeweils notiert (siehe voriger Absatz).

Es werden solange weitere Zweier-Kombinationen von Kandidaten gegeneinander abgestimmt, bis entweder ein Kandidat jede Stichwahl gegen seine Gegenkandidaten gewonnen hat, oder jeder Kandidat einmal gegen jeden anderen Kandidaten abgestimmt wurde.

Hat ein Kandidat gegen jeden anderen Kandidaten gewonnen, so ist er auch der Gewinner der Wahl. Andernfalls liegen zyklische Mehrheiten vor und es kommt eine Prozedur zur Ermittlung des Gewinners bei zyklischen Mehrheiten zur Anwendung. (siehe unten) 

Schriftliche Abstimmungen

1. Stimmzettel vorbereiten

Bei schriftlichen Abstimmung wird zunächst ein Stimmzettel benötigt. Dafür kann die Vorlage „Stimmzettel fuer Praeferenzwahlen zum … Selbst-Bearbeiten“ verwendet werden, je nach Bedarf in der Version für Wahlen oder Abstimmungen. Auf dem Stimmzettel sollte zunächst oben eingetragen werden, um welche Wahl oder Abstimmung es geht, indem die eckige Klammer ersetzt wird. Dann wird „Kandidat A“ durch den Namen des Kandidaten ersetzt, der auf dem Stimmzettel als erstes stehen soll, „Kandidat B“ durch den Namen des Kandidaten, der auf dem Stimmzettel als zweites stehen soll, usw. Zeilen für nicht benötigte Kandidaten sollten gelöscht werden. (Für Alternativen in der Vorlage für Abstimmungen gilt das gleiche.)

Die Stimmzettel kann man schon vor der Versammlung vorbereiten, wenn die Kandidaten bereits feststehen. Wenn man bei der Versammlung einen Computer mit angeschlossenem Drucker zur Verfügung hat, kann man die Stimmzettel mit den Namen der Kandidaten oder Vorschläge allerdings auch während der Versammlung kurzerhand ausdrucken.

Wenn die Kandidaten/Vorschlage vor der Versammlung noch nicht feststehen und das Ausdrucken von Stimmzetteln während der Versammlung unpraktikabel ist, kann man auch die unveränderten Stimmzettel der Vorlage verwenden. Auf diesen steht dann an Stelle der eigentlichen Kandidaten-Namen einfach A, B, C etc. In diesem Fall muss allerdings auf einer Tafel, einer Pinnwand, einem Flipchart oder per Beamer für alle gut sichtbar nachzulesen sein werden, welcher Kandidat durch welchen Buchstaben repräsentiert wird.

Es empfiehlt sich, solche allgemeinen Stimmzettel stets vorrätig zu halten, da eine schriftliche Abstimmung jederzeit anstehen kann.

Falls die Stimmzettel-Vorlage nicht verfügbar ist, kann man die Stimmzettel auch improvisieren. Für die spätere Auswertung der Stimmzettel ist es jedoch ratsam, die Stimmzettel so zu gestalten, dass die Kästchen, in die die Wähler ihre Präferenzen eintragen, sich auf jedem Stimmzettel an der gleichen Stelle und möglichst nah am Rand befinden.

Zur Not kann man die Stimmzettel auch während der Versammlung handschriftlich erstellen. Wenn die Abstimmung mit Stimmzetteln durchgeführt wird, weil jemand geheime Abstimmung beantragt hat, muss aber darauf geachtet werden, dass niemand an seiner Handschrift erkannt werden kann. Entweder werden alle Stimmzettel von ein und der selben Person geschrieben, oder jeder Teilnehmer fertigt selbst einen Stimmzettel an und anschließend werden die Stimmzettel mehrfach unter den Teilnehmern getauscht, so dass man die Handschrift des unausgefüllten Stimmzettels nicht mehr mit einem Wähler in Verbindung bringen kann.

2. Stimmzettel ausfüllen lassen

Die Wähler können die Kandidaten auf dem Stimmzettel in eine Rangfolge ihrer Wahl bringen. Die Rangfolge kann beliebig viele Kandidaten enthalten. Wenn vor der Wahl nichts anderes vereinbart wird, dürfen die Wähler auch zwei oder mehr Kandidaten den gleichen Rang geben.

3. Auswertung der Stimmzettel

Zunächst wird gezählt, wie viele gültige Stimmzettel es gibt. Diese Zahl wird durch zwei geteilt. Die nächst größere ganze Zahl ist die absolute Mehrheit.

Dann wird ermittelt, wie oft jeder Kandidat auf den ersten Rang der Präferenzliste eines Wählers gesetzt wurde (Erstpräferenzen). Hat ein Wähler mehreren Kandidaten den ersten Rang (Erstpräferenz) seiner Präferenzliste gegeben, wird die Stimme dieses Wählers bei der Ermittlung der Anzahl der Erstpräferenzen zu gleichen Teilen unter den betreffenden Kandidaten aufgeteilt. (Wenn ein Wähler zwei Kandidaten eine Erstpräferenz geben hat, so wird dies als halbe Stimme für den einen Kandidaten und als halbe Stimmen für den anderen Kandidaten gezählt.)

Erhält ein Kandidat dabei die absolute Mehrheit der Erstpräferenzen, so hat er die Wahl gewonnen.

Andernfalls werden die weiteren Präferenzen der Wähler ausgewertet.

4. Grundsätze der Auswertung der Präferenzlisten der Wähler

Aus der Präferenzliste jedes Wählers lässt sich ablesen, welchen Kandidaten er gegenüber welchen anderen bevorzugt. Hat ein Wähler zwei Kandidaten den gleichen Rang gegeben, so gilt dies beim Vergleich zwischen diesen Kandidaten als Enthaltung. Hat ein Wähler nicht alle Kandidaten aufgelistet, so wird dies so gewertet, dass er jeden von ihm aufgelisteten Kandidaten als besser erachtet als jeden von ihm nicht aufgelisteten Kandidaten; nicht aufgelistete Kandidaten sind untereinander gleichrangig; sie belegen gemeinsam den letzten Platz.

Ein Kandidat A gewinnt den Vergleich gegen einen anderen Kandidaten B, wenn es mehr Wähler gibt, die A gegenüber B bevorzugen als es Wähler gibt, die B gegenüber A bevorzugen.

Zwischen den Kandidaten A und B besteht ein Unentschieden, wenn es genauso viele Wähler gibt, die A gegenüber B bevorzugen wie es Wähler gibt, die B gegenüber A bevorzugen.

5. Vorgehen bei der Auswertung der Präferenzlisten der Wähler

Zur Auswertung der Stimmzettel kann man diese nun so überlappt neben- bzw. übereinander legen, dann man von jedem Wähler die Kästchen mit seinen Präferenzen sieht sowie beim obersten Stimmzettel auch die Namen der Kandidaten. Die Stimmzettel bilden in dieser Anordnung eine Art Tabelle, in der jede Zeile einen Kandidaten und jede Spalte einen Wähler repräsentiert.

Die Ergebnisse für die einzelnen Kandidaten-Paare lassen sich nun leicht aus den Zeilen der beiden Kandidaten ermitteln. Dafür geht man zunächst die erste der beiden Zeilen von links nach rechts durch. Immer wenn in der ersten der beiden Zeilen eine kleinere Zahl steht als in der anderen der beiden Zeilen, zählt man die Anzahl der Stimmen für den ersten der beiden Kandidaten um eins hoch. Denn eine kleinere Zahl bedeutet, dass dieser Wähler diesen Kandidaten besser als den anderen Kandidaten findet. Anschließend geht man die zweite der beiden Zeilen von links nach rechts durch und zählt jeweils eine Stimme für den zweiten der beiden Kandidaten hoch, wenn in der zweiten der beiden Zeilen eine kleinere Zahl steht als in der ersten. Enthält nur eine der beiden Spalten eine Zahl, so gilt diese explizit angegebene Präferenz als die kleinere der beiden Zahlen, da nicht angegebene Präferenzen gemeinsam den letzten Platz belegen.

Zu Kontrollzwecken kann außerdem noch festgestellt werden, wie oft beide Spalten jeweils die gleiche Zahl (oder gar keine) enthalten; dies sind sozusagen die Enthaltungen; wenn man die Stimmen für den einen Kandidaten, die Stimmen für den anderen Kandidaten und die Enthaltungen addiert, sollte dies der Zahl der gültigen Stimmzettel entsprechen.

Die Stimmenzahlen werden am besten gleich in eine Kreuztabelle (siehe unten) eingetragen.

Diejenigen Zeilen, die man gerade nicht betrachtet, kann man auch mit einem Streifen Papier abdecken. Dies verringert die Gefahr, in der Zeile zu verrutschen.

Nach Möglichkeit findet der erste Vergleich zwischen den zwei stärksten Kandidaten statt. Haben Kandidaten die gleiche Zahl an Erstpräferenzen, findet der erste Vergleich zwischen diesen Kandidat statt.

In den weiteren Vergleichen wird dann der Gewinner des jeweils vorigen Vergleichs mit einem anderen Kandidaten vergleichen; ergab der vorige Vergleich ein Unentschieden, kann man sich aussuchen, welchen der beiden Kandidaten man als nächstes mit einem anderen vergleicht. Das Ergebnis wird jeweils in die Kreuztabelle eingetragen.

Es werden solange weitere Zweier-Kombinationen von Kandidaten verglichen, bis entweder ein Kandidat jeden Vergleich gegen seine Gegenkandidaten gewonnen hat, oder jeder Kandidat einmal gegen jeden anderen Kandidaten abgestimmt wurde.

Wenn sich die Stimmzettel aufgrund ihrer Anzahl oder ihres Formats nicht überlappt nebeneinander anordnen lassen, kann man die Präferenzen auch von den Stimmzetteln in eine eigene Tabelle übertragen und dann mit dieser statt mit den einzelnen Stimmzetteln weiterarbeiten. Zur Erstellung der Tabelle wird der erste Stimmzettel herausgegriffen und in der Tabelle eingetragen, welche Präferenz die einzelnen Kandidaten von diesem Wähler erhalten haben. Kandidaten, die von dem Wähler keine Präferenz erhalten haben, bleiben entweder leer oder bekommen alle gemeinsam den letzten Platz. Im Grunde kann einfach die Zahlenfolge des Stimmzettels in die Tabelle übertragen werden; Voraussetzung dafür ist allerdings dass die Kandidaten auf dem Stimmzettel und in der Tabelle in der gleichen Reihenfolge aufgeführt sind. Dies wird für alle Stimmzettel gemacht.

Hat ein Kandidat gegen jeden anderen Kandidaten gewonnen, so ist er auch der Gewinner der Wahl. Andernfalls liegen zyklischen Mehrheiten vor und es kommt eine Prozedur zur Ermittlung des Gewinners bei zyklischen Mehrheiten zur Anwendung.

Kreuztabelle und Auswertung der Paarvergleiche

Egal ob die Ergebnisse (Stimmenzahlen) der Paarvergleiche in einer offenen Abstimmung oder durch Auswertung der Präferenzlisten in einer schriftlichen Abstimmung gewonnen wurden, sollten sie – zur besseren Übersichtlichkeit – in eine Kreuztabelle eingetragen werden. Dazu kann man die Vorlage „Auswertungsbogen Paarweiser Vergleich mit … Kandidaten“ verwenden.

Bei einer Abstimmung mit fünf Alternativen sieht die Tabelle folgendermaßen aus:

  gegen
für   A B C D E
A   [Stimmzahlen für A:B] [Stimmzahlen für A:C] [Stimmzahlen für A:D] [Stimmzahlen für A:E]
B :   [Stimmzahlen für B:C] [Stimmzahlen für B:D] [Stimmzahlen für B:E]
C : :   [Stimmzahlen für C:D] [Stimmzahlen für C:E]
D : : :   [Stimmzahlen für D:E]
E : : : :  

In der Tabelle kommt jeder Vergleich zweimal vor, nämlich einmal aus der Perspektive des einen Kandidaten und einmal aus der Perspektive des anderen Kandidaten. Wenn alle Vergleiche einmal in der Tabelle eingetragen wurden, kann man die Tabelle vervollständigen werden, indem man die Ergebnisse an der grauen Diagonale spiegelt. (Dazu wird der Inhalt jeder Zeile in die gleichnamige Spalte übertragen, wobei die Stimmenzahlen der beiden Kandidaten jeweils in umgekehrter Reihenfolge eingetragen werden, da der jeweilige Vergleich nun aus der Perspektive des anderen Kandidaten betrachtet wird.)

Die vervollständigte Tabelle sieht dann so aus:

  gegen
für   A B C D E
A   [Stimmzahlen für A:B] [Stimmzahlen für A:C] [Stimmzahlen für A:D] [Stimmzahlen für A:E]
B [Stimmzahlen für B:A]   [Stimmzahlen für B:C] [Stimmzahlen für B:D] [Stimmzahlen für B:E]
C [Stimmzahlen für C:A] [Stimmzahlen für C:B]   [Stimmzahlen für C:D] [Stimmzahlen für C:E]
D [Stimmzahlen für D:A] [Stimmzahlen für D:B] [Stimmzahlen für D:C]   [Stimmzahlen für D:E]
E [Stimmzahlen für E:A] [Stimmzahlen für E:B] [Stimmzahlen für E:C] [Stimmzahlen für E:D]  

Bei jedem Paarvergleich wird die Stimmenzahl des Gewinners unterstrichen (oder anderweitig hervorgehoben). Haben die beiden Kandidaten eines Vergleichs die gleiche Stimmenzahl, so besteht zwischen diesen ein Unentschieden. In diesem Fall werden beide Stimmzahlen mit einer durchgehenden Linie unterstrichen; dafür kann auch eine andere Farbe verwendet werden.

Nun wird jede Spalte der Kreuztabelle einzeln betrachtet. Wenn in einer Spalte jeweils der zweite Kandidat gewonnen hat, so bedeutet das, dass jeder Kandidat gegen diesen verloren hat, oder anders ausgedrückt: Dieser Kandidat hat im direkten Vergleich gegen jeden anderen gewonnen. Er ist somit der Gewinner der Wahl. (Man kann auch für jede Zeile prüfen, ob jeweils der vordere Kandidat gewinnt. Allerdings sind die in den Spalten untereinander stehenden Unterstreichungen besser auf einen Blick zu erfassen.)

Sonderfall: Zirkuläre Mehrheiten

Falls es keinen solchen Kandidaten gibt, der gegen jeden anderen gewinnt, bestehen zirkuläre Mehrheiten. Für diesen Fall gibt es unterschiedliche Methoden, einen Gewinner zu ermitteln.

Es wird empfohlen, die Methode Schwartz Sequential Dropping zu verwenden, die auch als Schulze-Methode bekannt ist.

Ermittlung des Gewinners bei zyklischen Mehrheiten nach der Schulze-Methode

Falls es keinen Kandidaten gibt, der gegen jeden anderen gewinnt, wird die unbesiegte Spitzengruppe der Kandidaten ermittelt. Diese ist die innerste Gruppe von Kandidaten, für die gilt: Kein Kandidat innerhalb der Gruppe verliert einen Vergleich gegen einen Kandidaten außerhalb der Gruppe; Unentschieden ist jedoch zulässig. Eine Gruppe ist dann die innerste, wenn diese Gruppe ihrerseits keine kleinere unbesiegte Gruppe enthält. Falls es mehrere solche innerste Gruppen gibt, dann bilden alle Kandidaten, die solchen Gruppen angehören, gemeinsam die unbesiegte Spitzengruppe (Schwartz Set[2]).

Durch eine kleine Skizze, die veranschaulicht, welcher Kandidat den jeweiligen Vergleich gewinnt, kann man sich einen Überblick über die einzelnen Gewinne der Kandidaten verschaffen.

Dazu kann man die Vorlage „Auswertungsbogen Paarweiser Vergleich mit … Kandidaten“ verwenden. Auf dieser Vorlage sind die Kandidaten bereits in verallgemeinerter Form (A, B, C etc.) eingetragen. Jedes Kandidatenpaar ist durch eine Strichellinie gekennzeichnet. Die Ergebnisse der Vergleiche können entlang der vorhandenen Strichellinien als Pfeile eingezeichnet werden. Der Pfeil zeigt jeweils vom Gewinner auf den Verlierer des Vergleichs. Die Pfeilspitze zeigt jeweils auf den unterlegenen Kandidaten. Besteht zwischen zwei Kandidaten ein Unentschieden, werden beide Enden der Verbindungslinie durch einen Punkt gekennzeichnet.

Ist kein Auswertungsbogen verfügbar, kann man die Namen der Kandidaten mit hinreichend Abstand zu einander auf einem Blatt Papier oder einer Tafel verteilen, möglichst als Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks, und dann die Pfeile einzeichnen.

Am besten geht man bei der Überprüfung der Kandidaten systematisch vor und überprüft zunächst einmal alle Kandidaten einzeln, ob sie unbesiegt sind, z.B. indem man einfach das Vieleck einmal umrundet.

Ein Kandidat ist unbesiegt, wenn kein Pfeil auf ihn zeigt. Eine Gruppe von Kandidaten ist unbesiegt, wenn kein Pfeil von außerhalb der Gruppe auf Kandidaten innerhalb der Gruppe zeigt. Besteht zwischen einem unbesiegten Kandidaten und einem oder mehreren anderen Kandidaten ein Unentschieden, so müssen diese anderen Kandidaten darauf überprüft werden, ob sie ebenfalls unbesiegt sind, da sie in diesem Fall ebenfalls der unbesiegten Spitzengruppe angehören würden.

Besteht die unbesiegte Spitzengruppe aus nur einem Kandidaten, der seinerseits mindestens einen anderen Kandidaten in einem der verbliebenen Vergleiche besiegt, so ist dieser unbesiegte Kandidat der Gewinner der Wahl.

Die Bedingung, dass ein Kandidat unbesiegt ist, aber mindestens einen eigenen Sieg hat, ist erfüllt, wenn von einem Kandidaten mindestens ein Pfeil wegführt und auf diesen Kandidaten kein Pfeil zeigt (ausgenommen sind Pfeile, die für Vergleiche stehen, die bereits übergangen wurden); Pünktchen, die für unentschieden ausgegangene Vergleiche stehen, sind jedoch erlaubt, solange von dem Kandidaten mindestens ein Pfeil wegführt.

Wenn man eine unbesiegte Spitzengruppe gefunden hat, die kleiner als die Gesamtzahl der zur Wahl stehenden Kandidaten ist, kann man die verbliebenen Vergleiche in ein neues Vorlagen-Blatt übertragen, da man dann leichter überblickt, um welche Vergleiche es überhaupt noch geht. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn ursprünglich 5 oder mehr Kandidaten im Rennen waren und auch der Spitzengruppe noch 4 oder mehr Kandidaten angehören.

Falls man kein neues Vorlagenblatt verwendet, sondern das ursprüngliche Vorlagen-Blatt weiter verwendet, ist es zumindest sinnvoll, die Kandidaten der Spitzengruppe und die Verbindungen zwischen ihnen optisch hervorzuheben, entweder durch eine andere Farbe oder durch kräftiges Nachziehen der Linien.

Besteht die Spitzengruppe noch aus mehreren Kandidaten, wird der Gewinner der Wahl anhand der Stimmenzahlen der Kandidaten der unbesiegten Spitzengruppe wie folgt ermittelt.

Da die Mehrheiten der Vergleiche zwischen den Kandidaten, die der unbesiegten Spitzengruppe angehören, einander widersprechen, muss mindestens eine dieser Mehrheiten übergangen werden, um einen Gewinner ermitteln zu können. Es wird zunächst derjenige Vergleich übergangen, bei dem der Gewinner die kleinste absolute Stimmenzahl hatte.

Um diese absoluten Stimmenzahlen der Gewinner auf einen Blick vergleichen zu können kann, ist es hilfreich, die absolute Stimmenzahl des Gewinners des jeweiligen Vergleichs an den Pfeil zu schreiben, der vom Gewinner zum Verlierer des Vergleichs führt, am besten in der Nähe der Pfeilspitze.

Haben die Gewinner bei zwei oder mehr Vergleichen gleichermaßen die kleinste absolute Stimmenzahl, so wird jener dieser Vergleiche übergangen, bei dem der Vorsprung des Gewinners vor dem Verlierer am geringsten war; gibt es auch hier Gleichstand, so werden alle diese Vergleiche gleichzeitig übergangen.

Wenn es nach dem Übergehen eines Vergleichs genau einen unbesiegten Kandidaten gibt, der seinerseits mindestens einen anderen Kandidaten in einem der verbliebenen Vergleiche besiegt, so ist dieser unbesiegte Kandidat der Gewinner der Wahl.

Gibt es weiterhin keinen solchen Kandidaten, dann wird aus den verbliebenen Vergleichen erneut die unbesiegte Spitzengruppe ermittelt, die identisch mit der bisherigen unbesiegten Spitzengruppe oder kleiner als diese sein kann. Von den verbliebenen Vergleichen zwischen den Kandidaten dieser neu ermittelten unbesiegten Spitzengruppe wird nun wieder derjenige Vergleich übergangen, bei dem der Gewinner die kleinste absolute Stimmenzahl hatte.

Die Prozedur der vorstehenden vier Absätze wird sooft durchlaufen, bis entweder die unbesiegte Spitzengruppe aus nur einem Kandidaten besteht oder bei allen Vergleichen zwischen Kandidaten dieser Spitzengruppe ein Unentschieden besteht. Im ersten Fall ist dieser Kandidat der Gewinner der Wahl. Im letzteren Fall entscheidet das Los zwischen diesen Kandidaten.

Bestätigung des Gewinners

Falls der Gewinner erst durch das Übergehen eines oder mehrerer Vergleiche ermittelt wurde, ist auf Verlangen eines Mitgliedes darüber abzustimmen, ob der so ermittelte Gewinner tatsächlich für gewählt erklärt werden soll. Der betreffende Kandidat wird für gewählt erklärt, wenn er in dieser Abstimmung mehr Ja- als Nein-Stimmen erhält.

Andernfalls wird das Ergebnis zur Diskussion gestellt und eine erneute Wahl durchgeführt. Kandidaten können dabei ihre Kandidatur aufrechterhalten oder zurückziehen; es können auch zusätzliche Kandidaten antreten.

Anleitung für das Auszählungsprogramm OpenSTV

Die Auszählung der Stimmen kann mit Hilfe eines Computerprogramms erfolgen, wenn dieses eine Condorcet-Methode mit Schwartz Sequential Dropping bzw. Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (Schulze-Methode) umsetzt.

Sofern keine gleichrangigen Präferenzen vergeben wurden, kann man dafür OpenSTV verwenden. Dieses Programm kann kostenlos unter openstv.org heruntergeladen werden. Ist das Programm (Version 1.5) installiert, geht man wie folgt vor:

Gehe im Menü „File“ auf „New Ballot File …“. (Oder drücke Strg+N)

Gib dann bei „Candidate to add“ den Namen des ersten Kandidaten ein. Klicke auf „Add“, um den Namen tatsächlich hinzufügen. Gib den Namen des nächsten Kandidaten ein und klicke wieder auf „Add“, usw. Umlaute, ß und Sonderzeichen sollten in Kandidatennamen vermieden werden, da das Programm dann beim Speichern eine Fehlermeldung ausgibt.

Wenn die Namen aller Kandidaten eingegeben sind, klicke auf OK.

Bei „Title“ kann man der Abstimmung einen Titel geben.

Gib dann die Präferenzen des ersten Stimmzettels ein, in dem Du die Namen der Kandidaten in der Reihenfolge der Präferenzfolge anklickst. Durch Doppelklicken auf den Namen des Kandidaten kann man die jeweilige Präferenz wieder löschen. Um den Inhalt eines Stimmzettel zu löschen und ihn dann neu einzugeben, klicke auf den Button „Clear This Ballot“. Klicke auf „Append New Ballot“, um einen weiteren Stimmzettel hinzuzufügen und dann dessen Präferenzen einzugeben.

Um einen Stimmzettel wieder zu löschen, klicke auf den Button „Delete This Ballot“.

Wenn alle Stimmzettel eingegeben sind, klicke auf „Exit“. Daraufhin wird man gefragt: „Do you want to save the ballots?“ („Wollen Sie diese Stimmzettel speichern?“) mit „Ja“. Anschließend gibt man den Dateinamen ein, unter dem die Stimmzettel gespeichert werden sollen. Anschließend wird man gefragt, ob man die Logs speichern möchte; dies kann man verneinen.

Gehe im Menü „File“ auf „Run Election…“, um die Stimmen auszuzählen. (Oder drücke Strg+E). Wähle bei Method „Condorcet Voting“ aus und klicke auf den Button „Select“, um die eben gespeicherte Datei mit dem Inhalt der Stimmzettel zu laden; Klicke dann auf OK.

Wähle bei „Method Options“(unten) als Completion method „Schwartz Sequential Dropping“ aus und klicke dann auf OK.

Das Ergebnis wird angezeigt. Der Gewinner steht in der letzten Zeile: „Winner is [Name des Gewinners].“


[1] Bei n Kandidaten sind es n * (n-1) / 2 Vergleiche, da jeder Kandidat (n) mit jedem anderen außer sich selbst (n-1) verglichen wird. Dabei würde jedoch jedes Kandidatenpaar doppelt betrachtet, nämlich einmal aus der Sicht des einen und einmal aus der Sicht des anderen Kandidaten. Da jedes Kandidatenpaar nur einmal betrachtet werden muss, halbiert sich die Zahl der Vergleiche (/2).

[2] Die unbesiegte Spitzengruppe (Schwartz Set) ist eine Untergruppe der dominanten Spitzengruppe (Smith Set). Das Smith Set ist die innerste Gruppe von Kandidaten für die gilt, dass jeder Kandidat innerhalb der Gruppe gegen jeden Kandidaten außerhalb der Gruppe gewinnt. Das Smith Set besteht aus allen Kandidaten, die an den zirkulären Mehrheiten beteiligt sind. Der Unterschied zwischen Schwartz Set und Smith Set wird bei Gleichstand/Unentschieden zwischen Kandidaten deutlich: Gegen die Kandidaten im Schwartz Set ist Unentschieden zulässig, da sie dann immer noch unbesiegt sind. Von den Kandidaten im Smith Set wird hingegen verlangt, dass sie tatsächlich gegen alle Kandidaten außerhalb des Smith Sets gewinnen. Oftmals sind Smith Set und Schwartz Set identisch; wenn sie nicht identisch sind, ist das Schwartz Set eine Teilmenge des Smith Sets und damit die kleinere der beiden Mengen.

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4 Kommentare »

  1. alex said

    1. Meiner Meinung nach ist das Verfahren des paarweisen Vergleichs zu aufwendig sobald eine entsprechende Zahl an Kandidaten oder Alternativen überschritten ist.

    2. Viele Wähler befassen sich nur mit einer Hand voll Favouriten und nicht mit jeder alternative und die Priorisierung der Alternativen erfolgt somit teilweise zufällig.

    3. Der paarweise Vergleich lädt zum taktieren ein. Eine Alternative die man persönlich als zweitbeste Alternative bewerten würde, könnte auf dem letzten Platz landen, in der Hoffnung, dass dadurch die als erstbeste bewertete Alternative auf Platz 1 landet.

    Was hälst du vom „Approval Voting“ ?

    • zu 1. Es stimmt, dass das Verfahren mit zunehmender Anzahl an Kandidaten aufwendiger wird, also wenn es z.B. 10 oder mehr Kandidaten gibt. Bei n Kandidaten sind bis zu n * (n-1)/2 Vergleiche durchzuführen; im günstigesten Fall kommt man allerdings mit n-1 Vergleichen aus (wenn der letztendliche Gewinner unter den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen ist und man somit nur den Gewinner dieses Vergleichs mit den übrigen Kandidaten vergleichen muss). Wenn es keine zyklischen Mehrheiten gibt, hält sich die Zahl der Vergleiche ebenfalls ziemlich in Grenzen. zyklischen Mehrheiten, an denen viele Kandidaten beteiligt sind, wird es recht aufwändig.

      Zugleich gilt jedoch: Je mehr Kandidaten es gibt, desto mehr kommt es auf das verwendete Wahlverfahren an. Am katastrophalsten schneidet bei einer großen Kandidatenzahl natürlich die relative Mehrheitswahl ab. Aber auch herkömmliche Stichwahlen unten den zwei Kandidaten mit den meisten Stimmen können schon ziemlich problematisch sein (siehe dazu auch meinen Blogeintrag über die Präsidentenwahl in Kroatien). Vom Auszählungsaufwand abgesehen, führt die Kandidatur zusätzlicher (aber selbst erfolgloser) Kandidaten beim Paarweisen Vergleich nicht dazu ein Gewinner auf einmal verliert, solange die zusätzlichen nicht der unbesiegten Spitzengruppe angehören.

      Die Anzahl der Vorschläge/Kandidaten hängt tendenziell auch mit der Zahl der Wahlberechtigten zusammen, weil es in größeren Gruppen mehr Meinungen gibt bzw. weil sich mehr Kandidaten finden. In großen Organisationen und bei vielen Kandidaten/Vorschlägen kann es sinnvoll sein, für die Auswertung Präferenzfolgen auf ein geeignetes Computerprogramm zurückzugreifen. Man müsste dann nur noch den Inhalt der Stimmzettel in das Programm übertragen.

      Ich würde sagen, bei bis zu 5 oder 6 Vorschlägen ist es selbst in komplexeren Fällen ohne weiteres per Hand auszuzählen.

    • zu 2. Das Problem besteht eigentlich bei jedem Verfahren. Die Wähler haben beim Paarweisen Vergleich allerdings auch die Möglichkeiten, mehreren Kandidaten den gleichen Rang zu geben. Das ist hilfreich, wenn man bestimmte Kandidaten ganz schlecht findet und sie deshalb nach hinten setzen möchte, aber zu einigen Kandidaten keine wirkliche Meinung hat. Würde man Kandidaten, zu denen man keine Meinung hat, gar nicht erwähnen, dann landen sie dadurch automatisch auf dem letzten Platz.

  2. […] einem Kommentar zum Benutzerleitfaden für den Paarweisen Vergleich merkte ein Leser an, dass der Paarweise […]

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